La banca siempre gana

Anoche estuve en el Casino, cenando y jugando un poco. La verdad es que es un sitio fascinante, además de por las tonterías del glamour, James Bond y demás polladas, por su forma de funcionar.

Mucha gente piensa que los juegos de casino son un timo, lo cuál no es cierto. Son juegos mucho más justos (en el sentido estadístico) que, por ejemplo, la Lotería Nacional, a la que todos jugamos en navidad. Sin embargo, a pesar de que las probabilidades de ganar favorecen muy ligeramente a la banca, un casino es muy rentable... y lo seguiría siendo aunque el juego fuese totalmente justo.

El secreto está, mira tú por dónde, estrechamente relacionado con el paseo del borracho (ya hice una tira cómica al respecto). En un proceso de este tipo, a cada paso la media está en la posición inicial, pero a cada paso la varianza va aumentando. En concreto, se trata más o menos de una distribución binomial, con unos pequeños ajustes.

Suponiendo que la cantidad inicial con la que llegas al casino es c, que las apuestas son unitarias y te pagan el inverso del riesgo, con una probabilidad p de ganar, tras n apuestas tu dinero sigue una distribución Binomial(n,p)/p-n+c. Efectivamente, la media es c. Pero hay un factor a tener en cuenta: en cuanto te quedas sin pasta, no puedes seguir jugando.

Con esta consideración, la cosa se complica bastante en términos matemáticos, de hecho me estaba pegando un poco con ello hasta que he visto entrar en el semmenger a un colega estadístico y le he preguntado que cómo lo veía... me ha dicho que lo había resuelto en la carrera, como problema de los jodidos, así que lo voy a dejar pasar.

El problema se puede abordar de la siguiente forma: hay que calcular el número de jugadas en promedio en el que un tío llega a la bancarrota. Para ello, hay que ir acumulando en cada apuesta la probabilidad de llegar a 0, lo cuál se puede hacer con la función distribución de la binomial, que ya de por sí es una formula complicadilla.

Así que si a alguien le apetece sacar la fórmula analítica, o simularlo, que se tire el rollo y lo cuente en los comentarios.