viernes, agosto 27, 2004

Menudo caos

Hace unos días, El Figura me preguntó sobre la Teoría del Caos y estuve intentando explicarle por el messenger de qué iba, cosa harto difícil sin poder hacer garabatos... Entre que el nombre mola y la mencionan en películas como "El Efecto Mariposa" y "Parque Jurásico" la gente lo flipa con ella, aunque no tengan mucha idea de en qué consiste exactamente.

Ya que nadie en la tele va a explicar nada parecido, me pongo yo. Así que si no sabes de qué va, ésta es tu oportunidad, y podrás fardar con tus amigos bakalas cuando les digas: "mazo guapo lo del kaos, tronco".

Desde el punto de vista físico y matemático, algo caótico no es algo desordenado, sino algo que aunque tiene un comportamiento determinista, es impredecible. El ejemplo más típico es el clima; si sabemos el tiempo que hace ahora podemos predecir con bastante acierto el tiempo que hará en las siguientes horas, a lo sumo un par de días, pero es casi imposible acertar con un margen de una semana. Sin embargo, las leyes físicas son implacables (hasta que se demuestre lo contrario) y el clima evoluciona según las leyes de la termodinámica, la gravitación, el electromagnetismo, etc. ¿Por qué entonces existe un umbral a partir del cual hay incertidumbre? por las pequeñas variaciones que no podemos medir, o por los pequeños errores que cometemos al calcular.

Vamos con un ejemplo matemático sencillo. Supongamos un sistema cuyo estado está representado por un único valor, que puede oscilar entre 0 y 1 (ahí está toda la información meteorológica del mundo, para que nos hagamos una idea). En un momento dado, el estado del sistema sólo depende del estado en el instante anterior, según la siguiente función:

f(x) = 4*(x-0,5)^2 (el asterisco es el símbolo de multiplicar y el acento circunflejo significa "elevado a"... la gráfica de la función es una bonita parábola, encajada entre 0 y 1 en ambos ejes)

así que si queremos saber qué valor va a tener el estado del sistema dentro de un instante, sólo tenemos que aplicar la función f al valor del instante actual.

Vamos a ver qué pasa si queremos predecir el valor del sistema en un plazo de 10 instantes con dos ejemplos ligeramente distintos:
Experimento 1Experimento 2
x_0=0.2
x_1=0.36
x_2=0.07840000000000003
x_3=0.71098624
x_4=0.17806077387735053
x_5=0.4145794612658017
x_6=0.02918667375056272
x_7=0.8866607526962362
x_8=0.5980261507024798
x_9=0.038436504886181
x_0=0.2001
x_1=0.35976004000000006
x_2=0.07866898552320634
x_3=0.7100792950401764
x_4=0.1765332408183098
x_5=0.41852297718202225
x_6=0.02655402098912507
x_7=0.8966043801662633
x_8=0.6291801374682637
x_9=0.06675003166527804
Podemos ver que la diferencia del valor incial de un experimento a otro es una diezmilésima, y tras nueve pasos el resultado no mantiene ninguna cifra significativa igual. Pues esto es lo mismo que ocurre cuando se intenta predecir el clima, con el añadido de que las fórmulas que se emplean para predecir el clima son un modelo muy simplificado de la realidad y aquí el modelo suponíamos que era exacto. También cometemos fallos de precisión en los cálculos, ya que un ordenador trabaja con una precisión finita, cortando los decimales que no le quepan.

Así que la clave de la cuestión es que en algunos sistemas se produce un "efecto avalancha" (o "efecto mariposa", pero me parece mucho más cursi) cuando introducimos un pequeño cambio en las condiciones iniciales. En otros casos, aunque hayamos tomado todas las medidas con una precisión absoluta, son los ordenadores los que se encargan de introducir las perturbaciones.

Y esto es en resumidas cuentas, queridos amigos, el caos... esto y mi habitación.

1 comentario:

El Javi dijo...

Saludos Fortran. Soy Javi un amigo de industriales. Estoy de acuerdo con lo que cuentas pero también existe otra explicación aunque pueda ser mas o menos parecida. El tiempo se rige por las ecuaciones de los fluidos, estas ecuaciones llevan perfectamente definidas desde hace mucho tiempo y se llaman ecuaciones de Navier-Stokes. Hay 3, la de conservacion de masa, la de conservacion de la cantidad de movimiento y la de la energia. Me centrare en las segundas ( son 3 una para cada coordenada espacial ), no son ni mas ni menos que la expresion para fluidos de la sencilla ecuacion de Newton F=m*a.La expresion concreta la puedes encontrar en el apendice de cualquier libro de mecanica de fluidos o incluso en internete ( creo que tienen una pagina web). Son ecuaciones diferenciales de segundor orden no lineales. Poseen varios terminos, pero en uno de ellos esta encerrada la clave del efecto caos. Son los terminos no lineales de la ecuacion, son del estilo la derivada de una velocidad por la velocidad sin derivar, son los que llamamos convectivos. Me esta quedando un poco pesadota la explicacion asi que continuo otro dia....